Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=

4

3

x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動；同時直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法直接得出即可，再利用直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，∠OBN=∠ONB=45°，進(jìn)而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=

4

3

x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
∴

y=-x+7 y= 4 3 x

，
解得：

x=3 y=4

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（7，0）．

（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當(dāng)以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴

1

2

（AC+BO）×CO-

1

2

AC×CP-

1

2

PO×RO-

1

2

AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當(dāng)4≤t＜7時，S_△APR=

1

2

AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
綜上所述，當(dāng)t=2時，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l交于一點(diǎn)D，當(dāng)l與AB相交于Q，
∵一次函數(shù)y=-x+7與x軸交于（7，0）點(diǎn)，與y軸交于（0，7）點(diǎn)，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直線l∥y軸，
∴RQ=RB，CD⊥L，
當(dāng)0≤t＜4時，如圖1，
RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，
∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
當(dāng)AP=PQ時 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 當(dāng)PQ=AQ時，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3

2

（舍去），t₂=1-3

2

（舍去）
當(dāng)4≤t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，
設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC=

AE

AQ

=

AC

AO

，
得AQ=

5

3

（t-4），
若AQ=AP，則

5

3

（t-4）=7-t，解得t=

41

8

，
當(dāng)AQ=PQ時，AE=PE，即AE=

1

2

AP，
得t-4=

1

2

（7-t），
解得：t=5，
當(dāng)AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F，
AF=

1

2

AQ=

1

2

×

5

3

（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF=

AF

AP

=

3

5

，
得AF=

3

5

AP，
即

1

2

×

5

3

（t-4）=

3

5

（7-t），
解得：t=

226

43

，
綜上所述，當(dāng)t=1、5、

41

8

、

226

43

秒時，存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法以及三角形面積求法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，此題綜合性較強(qiáng)，利用函數(shù)圖象表示出各部分長度，再利用勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．