Question

如圖，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=，D是AC上一個動點（不運動至點A，C），過D作DE∥BC，交AB于E，過D作DF⊥BC，垂足為F，連接BD，設(shè)CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果△BDF的面積為S₁，△BDE的面積為S₂，那么x為何值時，S₁=2S₂．

Answer 1

解：（1）在Rt△CDF中，sinC=，CD=x
∴DF=CD•sinC=x，CF=
∴BF=18-；

（2）∵ED∥BC，
∴=．
∴ED===18-x．
∴S=×DF×（ED+BF）
=×x×（18-x+18-x）=-x²+x；

（3）由S₁=2S₂，得S₁=S，
∴（18-x）•x=（-x²+x），
解得：x=10
所以，當(dāng)x=10時，S₁=2S₂．
分析：（1）可在直角三角形CFD中，根據(jù)CD的長，和∠C的正弦函數(shù)表示出DF，而BF的值可以先在直角三角形CFD中，用CD和∠C的余弦函數(shù)表示出CF，然后根據(jù)BC-CF表示出BF的長；
（2）本題中（1）已經(jīng)表示出了BF，DF的長，那么關(guān)鍵是DE的長，可通過DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出關(guān)于AD，AC，DE，BC的比例關(guān)系式，然后根據(jù)BC的長，用CD表即x表示出DE，然后根據(jù)梯形的面積公式即可得出關(guān)于S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）三角形BDF中BF，DF已經(jīng)在（1）中得出，梯形的面積也在（2）中得出，可根據(jù)題中給出的他們的比例關(guān)系，得出關(guān)于x的方程，然后通過解方程即可得出x的值．
點評：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用等知識點，根據(jù)三角形函數(shù)或平行得出的線段的比例關(guān)系來表示出相關(guān)的線段的長是解題的關(guān)鍵．