Question

直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)．
（1）寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到△AOB，旋轉(zhuǎn)后得到△COD，由圖即可得到點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出二次函數(shù)的一般式，將A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入列出方程組即可求解；
（3）先假設(shè)存在，根據(jù)相似三角形的判定列出比例式，計(jì)算點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若能計(jì)算出來，則存在；否則不存在．
解答：解：（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（-1，0）；（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過C點(diǎn)，
∴c=3．（1分）
又∵拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
∴，
解得（2分）
∴y=-x²+2x+3（1分）
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)G（1，4）．（1分）

（3）解：過點(diǎn)G作GH⊥y軸垂足為點(diǎn)H，
∵，，
∵tan∠BAO=，tan∠GBH=，
∴∠BGH=∠BAO（1分）
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BGH+∠ABO=90°，
∴∠GBA=90°，
∴∠ABQ=∠DOC=∠AOB（1分）
①當(dāng)時(shí)，△ODC∽△BQA，
即，
∴BQ=（1分）
過點(diǎn)Q作QN⊥y軸，垂足為點(diǎn)N，設(shè)Q（x，y），
∵，，，
∵tan∠GBH=，
∴BN=1，
∴，（2分）
②同理可得：Q₃（3，10），Q₄（-3，-8）．（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、旋轉(zhuǎn)變換及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及點(diǎn)的存在性問題，綜合性很強(qiáng)，難度較大，要仔細(xì)對(duì)待．