12.如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A,B和C的距離分別為1,2,3,將△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′,連接PP′.
(1)求證:△BPP′是等腰直角三角形;
(2)求∠APB的度數(shù).

分析 (1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABP≌△CBP′,得出∠PBP′=∠ABC=90°,BP=BP′=2,P′C=AP=1,即可得出結(jié)論;
(2)連接PC,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BP′P=45°,由勾股定理求出PP′,由勾股定理的逆定理證出△BP′C是直角三角形,∠PP′C=90°,即可得出結(jié)果.

解答 (1)證明:∵將△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′,
∴△ABP≌△CBP′,
∴∠PBP′=∠ABC=90°,BP=BP′=2,P′C=AP=1,∠APB=∠BP′C
∴△BPP′為等腰直角三角形;
(2)解:連接PC,如圖所示:
由(1)得:△BPP′為等腰直角三角形,
∴∠BP′P=45°,PP′=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∵PP′2+P′C2=8+1=9=PC2,
∴△BP′C是直角三角形,∠PP′C=90°,
∴∠APB=∠BP′C=90°+45°=135°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理;熟練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明△BP′C是直角三角形是解決問題(2)的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖1,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)M是射線AE上任意一點(diǎn)(M不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點(diǎn)D.
(1)直接寫出直線BD與射線AE相交所成銳角的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)射線AE與AC的夾角∠EAC為鈍角時(shí),其他條件不變,(1)中結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,加以證明;如果變化,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖3,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,射線AE交BC于點(diǎn)H,∠EAC=15°,點(diǎn)M是射線AE上任意一點(diǎn)(M不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點(diǎn)D.G,F(xiàn)分別是AH,AB的中點(diǎn).求證:CD=GF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.如果a2-ab-4c是一個(gè)完全平方式,那么c等于(  )
A.$\frac{1}{4}$b2B.-$\frac{1}{8}$b2C.$\frac{1}{16}$b2D.-$\frac{1}{16}$b2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.計(jì)算:
(1)(-3)×$2\frac{1}{2}$+2×(-2$\frac{1}{3}$)+(-5)×(-$\frac{7}{3}$).
(2)-14+(1-0.5)×$\frac{1}{3}$×[2-(-3)2].

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.如圖,已知螞蟻沿著長為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過3個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的,則此經(jīng)過3個(gè)側(cè)面的最短路徑長為2$\sqrt{10}$.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.線段AB、CD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段AB上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3.5,2),則直線OP與線段CD的交點(diǎn)的坐標(biāo)為( 。
A.(7,2)B.(3.5,4)C.(3.5,2)D.(7,4)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.下列說法:
①數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的;
②不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù);
③無限小數(shù)都是無理數(shù);
④-$\sqrt{13}$是13的平方根.
其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,BD是⊙O的直徑,若∠ABD=20°,則∠ACB的度數(shù)為(  )
A.70°B.65°C.60°D.50°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.先化簡,再求值:
已知x=1,y=2,求代數(shù)式x-2($\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}{y}^{2}$)+(-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}{y}^{2}$)的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案