Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC⊥BD于P點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C、D在x軸上．
（1）若BC=10，A（0，8），求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若BC=13

2

，AB+CD=34，求過(guò)B點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式；
（3）如圖，在PD上有一點(diǎn)Q，連接CQ，過(guò)P作PE⊥CQ交CQ于S，交DC于E，在DC上取EF=DE，過(guò)F作FH⊥CQ交CQ于T，交PC于H，當(dāng)Q在PD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（不與P、D重合），

PQ

PH

的值是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知：AD=BC，在Rt△AOD中，已知AD，OA的長(zhǎng)，可將OD的長(zhǎng)求出，從而可知點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作輔助線，作BH⊥DE于H，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交x軸于點(diǎn)E，則四邊形ABEC為平行四邊形，AB=CE，BE=AC，由AC⊥BD，可得：BD⊥BE，故在Rt△BDE中，由斜邊DE的長(zhǎng)可知：BH的長(zhǎng)，在Rt△BHC中，運(yùn)用勾股定理可將CH的長(zhǎng)求出，進(jìn)而可將OH的長(zhǎng)求出，知點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可求出求過(guò)B點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式；
（3）作輔助線，過(guò)點(diǎn)D作DN∥PC交PE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MI∥EF交BN于點(diǎn)I，易證四邊形EFIM和四邊形MNHP是平行四邊形，從而可證：△EDM≌△IMN，DM=MN，進(jìn)而可證：△PDM≌△CPQ，DM=PQ=PH，故：

PQ

PH

=1，為定值．

解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，AD=BC=10
又∵A（0，8）
∴OA=8
∴OD=

102-82

=6
∴D（-6，0）

（2）作BH⊥DE于H，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交x軸于點(diǎn)E，
∵AB∥CE，BE∥AC，
∴ABEC是平行四邊形，
∴AB=CE，BE=AC，
又∵ABCD為等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BE=BD，
而AC⊥BD，AB∥CE，
∴∠DPC=∠DBE=90°，
∵BH⊥DE，
∴H為DE的中點(diǎn)，即BH為直角三角形DBE斜邊DE上的中線，
∴BH=

1

2

DE=

1

2

（DC+CE）=

1

2

（DC+AB）=

1

2

×34=17
∵BC=13

2

∴CH=

BC2-BH2

=7
∴OH=AB=CE=HE-HC=17-7=10
∴B（10，17）
∴過(guò)B點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為：
y=

170

x

（3）過(guò)點(diǎn)D作DN∥PC交PE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MI∥EF交BN于點(diǎn)I
易證四邊形EFIM和四邊形MNHP是平行四邊形
∴MI=EF=DE，MN=PH
又∵∠EDM=∠IMN，∠DEM=∠EFI=∠MIN
∴△EDM≌△IMN
∴DM=MN
∵AC⊥BD，DN∥PC，
∴∠PDM=∠CPQ=90°，∠DPM=∠QCP=90°-∠SPC
由（2）知：∠BDC=45°，而∠DPC=90°，
∴PD=PC
∴△PDM≌△CPQ
∴DM=PQ=PH
∴

PQ

PH

=1

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查等腰梯形的性質(zhì)，反比例函數(shù)關(guān)系式的求法，全等三角形的判定和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．