Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知等腰梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A（-2，0），B（6，0），C（4，6），對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）求E的坐標(biāo)；
（2）若M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求MC+MD的最小值；
（3）在y軸正半軸上求點(diǎn)P，使以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）作EF⊥AB，根據(jù)已知，可得出OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，然后，根據(jù)相似，即可求出EF的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，則D′的坐標(biāo)為（0，-6），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，算出即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P（0，y），y＞0，分三種情況，①PC=BC；②PB=BC；③PB=PC；解答出即可；

解答：解：（1）作EF⊥AB，
∴

BF

OB

=

EF

OD

，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE=BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF=BF，
∵A（-2，0），B（6，0），C（4，6），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6），
∴OD=6，F(xiàn)B=4，OF=2，
∴

4

6

=

EF

6

，
∴EF=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）；

（2）由題意可得，
點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，-6），
CD′與x軸的交點(diǎn)為M，
∴此時(shí)，MC+MD=CD′為最小值，
∴CD′=

(4)2+(6+6)2

=4

10

；

（3）設(shè)點(diǎn)P（0，y），y＞0，
分三種情況，①PC=BC；
∴4²+（6-y）²=2²+6²，
解得，y=6±2

6

；
②PB=BC；
∴6²+y²=2²+6²，
解得，y=2，y=-2（舍去）；
③PB=PC；
∴6²+y²=4²+（6-y）²，
解得，y=

4

3

；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，6+2

6

），（0，6-2

6

），（0，2），（0，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路線問(wèn)題及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，鍛煉了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合運(yùn)用能力和良好的空間想象能力．