Question

（1）如圖1，點(diǎn)M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請你在圖1中過點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成相等的兩部分．（只需保留作圖痕跡）
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是我市城東新區(qū)開發(fā)用地示意圖，其中DC∥OB，OB=8，BC=6，CD=6．新區(qū)管委會（其占地面積不計(jì)）設(shè)在點(diǎn)P（5，3）處，為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過點(diǎn)P修一條筆直的道路（路的寬度不計(jì)），并且使這條路所在的直線L將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線L是否存在？若存在，求出直線L的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）連接AC，BD中心點(diǎn)位O，過O點(diǎn)的直線分矩形為相等的兩部分．
（2）假如存在，過點(diǎn)D的直線只要作DA⊥OB與點(diǎn)A，表示出H點(diǎn)的坐標(biāo)，把x=2代入直線PH的解析式y(tǒng)=kx+3-5k，得y=3-k，根據(jù)PH將△DOA面積平分，求出k和b即可得出．

解答：解：（1）如圖②連接AC、BD交于O則O為正方形對稱中心．
作直線MO，直線MO即為所求．

（2）如圖③存在直線l，
過點(diǎn)D的直線作DA⊥OB于點(diǎn)A，
則點(diǎn)P（5，3）為矩形ABCD的對稱中心，
∴過點(diǎn)P的直線只要平分△DOA的面積即可，
易知，在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA面積平分．
從而，直線PH平分梯形OBCD的面積，即直線PH為所求直線l
設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b且點(diǎn)P（5，3），
∴3=5k+b即b=3-5k，
∴y=kx+3-5k，
∵直線OD的表達(dá)式為y=3x，
∴

y=kx+3-5k y=3x

，
解之

x= 3-5k 3-k y= 9-15k 3-k

．
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x=

3-5k

3-k

，y=

9-15k

3-k

）
把x=2代入直線PH的解析式y(tǒng)=kx+3-5k，得y=3-k，
∴PH與線段AD的交點(diǎn)F（2，3-k），
∴0＜3-k＜6，
∴-3＜k＜3．
∴S_△DHF=

1

2

[6-（3-k）•（2-

3-5k

3-k

）=

1

2

×

1

2

×2×6，
∴解得：k=-3+2

3

．（k=-3-2

3

舍去）
∴b=3-5k=18-10

3

，
∴直線l的表達(dá)式為：y=（-3+2

3

）x+18-10

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識，用k表示出F點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．