如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB=AC=10,BC=12,P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),DP是⊙O的切線?請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí),求線段DP的長(zhǎng).

 

 

【答案】

解:(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí),DP是⊙O的切線。理由如下:

連接AP。

∵AB=AC,∴

又∵,∴!郟A是⊙O的直徑。

,∴∠1=∠2。

又∵AB=AC,∴PA⊥BC。

又∵DP∥BC,∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切線。

(2)連接OB,設(shè)PA交BC于點(diǎn)E。.

 

 

由垂徑定理,得BE=BC=6。

在Rt△ABE中,由勾股定理,得:AE=。

設(shè)⊙O的半徑為r,則OE=8﹣r,

在Rt△OBE中,由勾股定理,得:r2=62+(8﹣r)2,解得r=

∵DP∥BC,∴∠ABE=∠D。

又∵∠1=∠1,∴△ABE∽△ADP,

,即,解得:。

【解析】圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,切線的判定,勾股定理,垂徑定理,相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí),得出,得出PA是⊙O的直徑,再利用DP∥BC,得出DP⊥PA,問題得證。

(2)利用切線的性質(zhì),由勾股定理得出半徑長(zhǎng),進(jìn)而得出△ABE∽△ADP,即可得出DP的長(zhǎng)。

 

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