Question

已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．
（2）若AB=4cm，∠ACB=30°，如圖2，垂直于BC的直線l從線段CD所在的位置出發(fā)，沿直線AD的方向向左以每秒1cm的速度勻速運動（直線l到達A點時停止運動），運動過程中，直線l交折線AEC于點M，交折線AFC于點N；設(shè)運動時間為t秒，△CMN的面積為y平方厘米，求y與t的關(guān)系式．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)ABCD為矩形，根據(jù)矩形的對邊平行得到AE與CF平行，由兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，又EF垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的定義得到AO=CO，且AC與EF垂直，再加上一對對頂角相等，利用“ASA”得到△AOE與△COF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=FC，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到AFCE為平行四邊形，又根據(jù)對角線垂直的平行四邊形為菱形即可得證；
（2）首先根據(jù)已知得出菱形的邊長進而利用直線l的位置不同進行分類討論：如圖2，當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時，如圖3，當(dāng)

4 3

3

≤t≤

8 3

3

時，
如圖4，當(dāng)

8 3

3

≤t＜4

3

時，分別求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，
在△AOE和△COF中

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四邊形AFCE為菱形；

（2）解：∵AB=4cm，∠ACB=30°，四邊形AFCE為菱形，
∴∠ACB=∠ACE=30°，
∴∠FCE=∠FAE=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=

4 3

3

cm，AF=FC=AE=EC=

8 3

3

cm，
∴BC=4

3

cm，
如圖2，當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時，
∵∠NCM=60°，
∴∠NMC=30°，
NC=t，則MN=t×tan30°=

3

3

t，
∴y=

1

2

×MN×NC=

1

2

×

3

3

t×t=

3

6

t²；
如圖3，當(dāng)

4 3

3

≤t≤

8 3

3

時，
∵AB=MN=4cm，CN=t，
∴y=

1

2

×MN×NC=

1

2

×4×t=2t；
如圖4，當(dāng)

8 3

3

≤t＜4

3

時，
∵∠MAN=60°，MD=t，則AM=4

3

-t，
∴MN=（4

3

-t）tan60°=12-

3

t，
∴y=

1

2

×t×（12-

3

t）
=-

3

2

t²+6t．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及三角形面積求法等知識，利用t的不同取值范圍得出是解本題的關(guān)鍵．