Question

如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，面積為28.

過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K.

則可得，FG＝×4，

所以S_△BEF＝BE·FG＝－x²+x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－x²+x＝14，解這個方程，得x₁＝7，x₂＝5（不合題意，舍去），

所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE＝7.

（3）不存在.假設(shè)存在，顯然有S_△BEF∶S_{多邊形AFECD} ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x²+x＝，

整理，得3x²－24x+70＝0，此時的求根公式中的b²－4ac＝576－840＜0，

所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分.

說明　求解本題時應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x₂＝5時，并不屬于7≤x≤10，應(yīng)及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程來探索問題的存在性.