Question

如圖，Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連接CE交斜邊AB于點F，CE 的延長線交BD于點G．
（1）試說明∠ACE=∠ABD；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CAE=β，試探索α、β 滿足什么關(guān)系時，△ACF與△GBF是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角可得∠CAE=∠BAD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得Rt△ADE和Rt△ABC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=AE，AB=AD，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，△ACF與△GBF是全等三角形時，BF=CF，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BCF=∠ABC，再用β表示出∠ACF，然后根據(jù)∠ACB是直角列式整理即可得解．

解答：（1）證明：∵Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴旋轉(zhuǎn)角=∠CAE=∠BAD，Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴AC=AE，AB=AD，
在△ACE中，∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE），
在△ABD中，∠ABD=

1

2

（180°-∠BAD），
∴∠ACE=∠ABD；

（2）解：∵△ACF≌與△GBF，∠ACE和∠ABD是對應(yīng)角，∠AFC和∠GFB是對頂角，
∴BF=CF，
∴∠BCF=∠ABC=α，
又∵∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE）=

1

2

（180°-β），
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=α+

1

2

（180°-β）=90°，
整理得，2α=β．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．