Question

20．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)，且它關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是D′，BD′=$\sqrt{5}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連結(jié)CD′，DD′，由等腰直角三角形性質(zhì)得∠ACB=45°，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可得CD=CD′、∠D′CD=90°，由BC=2CD′可設(shè)CD′=x，則BC=2x，在Rt△BCD′中，由勾股定理即可得求得x的值，從而得出AB=BC=2，繼而得出答案．

解答 解：如圖，連結(jié)CD′，DD′，

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是D′，
∴AC垂直平分DD′，
∴CD=CD′，∠D′CD=90°，
又∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2CD′，
設(shè)CD′=x，則BC=2x，
在Rt△BCD′中，由勾股定理得：CD′²+BC²=BD′²，即x²+（2x）²=5，
解得：x=1或x=-1（舍），
∴AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．