Question

6．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PFE中，∠EPF=90°，點E、F分別在邊AD、AB上．
（1）如圖1，若點P與點O重合．
①求證：△AOF≌△DOE；
②若正方形的邊長為2$\sqrt{3}$，當∠DOE=15°時，求線段EF的長；
（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當BD=m•BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證得：△AOF≌△DOE；
②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可；
（2）首先過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當BD=m•BP時，PE與PF的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠DOE=∠AOF，
在△AOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠DOE}\\{OA=OD}\\{∠OAF=∠ODE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOE（ASA）；

②如圖1，過點O作OG⊥AB于G，
∵正方形的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，
∴∠AOF=15°，
∴∠FOG=45°-15°=30°，
∵cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$，
∴OF=$\frac{OG}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
又∵OE=OF，
∴EF=$\sqrt{2}$OF=2$\sqrt{2}$；

（2）PE=2PF，
證明：如圖2，過點P作HP⊥BD交AB于點H，
則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴$\frac{PF}{PE}=\frac{PH}{PD}=\frac{1}{2}$，
即PE=2PF，
由此規(guī)律可知，當BD=m•BP時，PE=（m-1）•PF．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．