Question

（2013•德惠市二模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=4cm，DC=6cm，CB=5cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AD-DC勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM⊥AB交折線BC-CD于點(diǎn)M，連接QM，PQ，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△PQM的面積為S（cm²）．

（1）求線段AB的長(zhǎng)．
（2）求Q，M兩點(diǎn)相遇時(shí)t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．
（4）設(shè)點(diǎn)N為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑是一條線段；當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑也是一條線段．則這兩條線段長(zhǎng)分別為

5

cm，

1.5

cm．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，就可以得出四邊形AECD是矩形，就有CE=AD=4，再由勾股定理就可以求出EB的值，從而得出結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)Q，M兩點(diǎn)相遇時(shí)DQ=AP=12-PB，得出方程2t-4=9-t，求出其解即可；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分三種情況，如圖4，如圖5，如圖6，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（4）如圖7，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑為EN，E為PQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，由勾股定理就可以求出EN的值，如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑為EN，E為DH的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作HG∥PQ交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取HG的中點(diǎn)F，連接EF，NF，由三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠BEC=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°．
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠D=90°，
∴四邊形AECD是矩形，
∴AD=CE=4cm，AE=CD=6cm．
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BE=3cm，
∴AB=6+3=9cm．
答：線段AB的長(zhǎng)9cm；
（2）如圖2，當(dāng)Q，M兩點(diǎn)相遇時(shí)
∵DQ=AP=9-PB，
∴2t-4=9-t，
∴t=

13

3

；
答：Q，M兩點(diǎn)相遇時(shí)t=

13

3

；
（3）當(dāng)2≤t＜3時(shí)，如圖4，作QE⊥AB于E，
∴∠AEQ=90°．
∴四邊形AEQD是矩形，
∴AD=EQ=4cm，DQ=AE=2t-4，PE=9-t-（2t-4）=13-3t．
∵tan∠B=

4

3

，
∴

PM

PB

=

4

3

，
∴

PM

t

=

4

3

，
∴PM=

4

3

t．
∴S=

( 4 3 t+4)(13-3t)

2

-

4(13-3t)

2

，
=-2t²+

26

3

t．
S=-2（t²-

13

3

t）=-2[t²-

13

3

t+（

13

6

）²-

169

36

]=-2（t-

13

6

）²+

169

18

，
∴S的最大值為

169

18

cm²；
如圖5，當(dāng)，3≤t＜

13

3

時(shí)，
QM=9-t-（2t-4）=13-3t，
S=

4(13-3t)

2

=-6t+26，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_最大=8cm²；
如圖6，當(dāng)3≤

13

3

≤5時(shí)，
AP=DM=9-t，
∴QM=2t-4-（9-t）=3t-13，
∴S=

4(3t-13)

2

=6t-26，
∴當(dāng)t=5時(shí)，S最大=4cm²．
∵

169

18

＞8＞4，
∴S的最大值為

169

18

cm²；
（4）如圖7，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑為EN，E為PQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，
∴∠AGE=∠AFE=90°，
∴四邊形AFEG是矩形，
∴EG=AF，EF=AG，EG∥AF，EF∥AG．
∵E是PQ的中點(diǎn)，F(xiàn)是AP的中點(diǎn)，
∴G是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AP的中點(diǎn)
∴EG是△ADP的中位線，EF是△ADP的中位線，
∴EF=

1

2

AD=2，AF=GF=

1

2

AP=

1

2

（9-2）=3.5cm．
∵N是AB的中點(diǎn)，
∴AN=

1

2

AB=4.5cm，
∴FN=4.5-3.5=1cm．
在Rt△FEN中，由勾股定理，得
EN=

5

cm；
如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑為EN，E為DH的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作HG∥PQ交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取HG的中點(diǎn)F，連接EF，NF，
∴四邊形PHGC是平行四邊形，EF是△GDH的中位線，
∴EF∥DG，EF=

1

2

DG，PC=HG，CG=PH．
∵N為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是HG的中點(diǎn)，
∴CN=

1

2

PC，F(xiàn)G=

1

2

HG，
∴CN=FG．
∵CN∥GF，
∴四邊形NFGC是平行四邊形，
∴NF∥CG，CG=NF=PH，
∴E、N、F三點(diǎn)共線．
∵PB=5，HB=2cm，
∴PH=3cm，
∴CG=NF=3cm，
∴CG=9cm，
∴EF=

1

2

×9=4.5cm．
∴EN=1.5cm．
故答案為：

5

，1.5

點(diǎn)評(píng)：本題是一道幾何動(dòng)點(diǎn)問題，考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)合理運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)是關(guān)鍵．