Question

如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），且直線(xiàn)y=x+4依次與y軸和拋物線(xiàn)相交于P、Q、R三點(diǎn)，PQ：QR=1：3，則這個(gè)二次函數(shù)解析式為 .

Answer 1

y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+．

【解析】

試題分析：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），利用頂點(diǎn)法設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x﹣2）2+4．根據(jù)直線(xiàn)y=x+4依次與y軸和拋物線(xiàn)相交于P、Q、R三點(diǎn)，則可確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，并設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）和（x2，y2）．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與PQ：QR=1：3求得|x2|與|x1|的比值．直線(xiàn)y=x+4與拋物線(xiàn)相交于Q、R兩點(diǎn)列出方程a（x﹣2）2+4=x+4，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可求出x1、x2、a的值．因此拋物線(xiàn)即可確定．

試題解析：∵圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），

∴所以二次函數(shù)解析式為y=a（x﹣2）2+4 ①，

∵直線(xiàn)y=x+4依次與y軸和拋物線(xiàn)相交于P、Q、R三點(diǎn)，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）和（x2，y2），則y1=x1+4，y2=x2+4，

∵|PQ|=，

|PR|=，

∵PQ：QR=1：3且P在QR之處，

∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4， |x1|： |x2|=1：4，

∴|x2|=4|x1|②，

又x1，x2是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∴a（x﹣2）2+4=x+4，即ax2﹣（4a+1）x+4a=0，

∴a（x2﹣x+4）=0，

由韋達(dá)定理，，

由③得，x1、x2同號(hào)，再由②得 x2=4x1，

∴x1=±1，x2=±4，從④得a=1，或a=﹣

∴y=x2﹣4x+8或y=﹣x2+x+，

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．