Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為．

Answer 1

【答案】．

【解析】試題分析：本題主要考查的是最短路徑問題，由軸對稱圖形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)確定出點P的位置是解題的關鍵.首先作出點D關于BC的對稱點D′，從而可知當點P、M、D′在一條直線上時，路徑最短，當點E與點D重合，點F與點C重合時，PG和GD′均最短，即PD′最短，然后由正方形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)可知：PG=2，GD′=6，最后由勾股定理即可求得PD′的長，從而可求得MD+MP的最小值.

如圖作點D關于BC的對稱點D′，連接PD′，由軸對稱的性質(zhì)可知：MD=D′M，CD=CD′=4,

∴PM+DM=PM+MD′=PD′，過點P作PG垂直于C，垂足為G，易證AF⊥BE，故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧，當點E與點D重合，點F與點C重合時，PG和GD′均最短， ∴此時PD′最短．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴PG=AD=2，GC=DC=2．

∴GD′=6．

在Rt△PGD′中，由勾股定理得：PD′==＝2．

故答案為2.