Question

如圖，已知：如圖①，直線y=-x+與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動到O點(diǎn)停止）；對稱軸過點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（x-k）²+h（a＜0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EG∥OA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運(yùn)動速度分別是1個(gè)單位長度/秒和個(gè)單位長度/秒，運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出一次函數(shù)y=-x+與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長；
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊形，若?ADEF是菱形，則DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；
如答圖1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，證明△AFG與△AGB相似．
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，有兩種情形，需要分類討論：
①若∠ADF=90°，如答圖2所示．首先求出此時(shí)t的值；其次求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；最后利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
②若∠AFD=90°，如答圖3所示．解題思路與①相同．
解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=-x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1．
∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=．
∴tan∠OAB=，∴∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2．
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°．
∴EF===t，BF=2EF=2t，
∴AF=AB-BF=2-2t．

（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四邊形ADEF為平行四邊形．
若?ADEF是菱形，則DE=AD=t．
由DE=2OD，即：t=2（1-t），解得t=．
∴t=時(shí)，四邊形ADEF是菱形．
②此時(shí)△AFG與△AGB相似．理由如下：
如答圖1所示，連接AE，

∵四邊形ADEF是菱形，
∴∠DEF=∠DAF=60°，
∴∠AEF=30°．
由拋物線的對稱性可知，AG=AE，
∴∠AGF=∠AEF=30°．
在Rt△BEG中，BE=，EG=2，
∴tan∠EBG==，
∴∠EBG=60°，
∴∠ABG=∠EBG-∠EBF=30°．
在△AFG與△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，
∴△AFG∽△AGB．

（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，
①若∠ADF=90°，如答圖2所示：

此時(shí)AF=2DA，即2-2t=2t，解得t=．
∴BE=t=，OE=OB-BE=，
∴E（0，），G（2，）．
設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：
，解得k=，b=，
∴y=x+．
令x=1，得y=，
∴M（1，）．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+，點(diǎn)E（0，）在拋物線上，
∴=a+，解得a=．
∴y=（x-1）²+=x²+x+．
②若∠AFD=90°，如答圖3所示：

此時(shí)AD=2AF，即：t=2（2-2t），解得：t=．
∴BE=t=，OE=OB-BE=，
∴E（0，），G（2，）．
設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，將B（0，），G（2，）代入得：
，解得k=，b=，
∴y=x+．
令x=1，得y=，∴M（1，）．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+，點(diǎn)E（0，）在拋物線上，
∴=a+，解得a=．
∴y=（x-1）²+=x²+x+．
綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：y=x²+x+或y=x²+x+．
點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知識點(diǎn)．第（3）問中，有兩種情形存在，需要分類討論，避免漏解．