Question

已知，A（3，a）是雙曲線y=上的點，O是原點，延長線段AO交雙曲線于另一點B，又過B點作BK⊥x軸于K．

（1）試求a的值與點B坐標(biāo)；
（2）在直角坐標(biāo)系中，先使線段AB在x軸的正方向上平移6個單位，得線段A₁B₁，再依次在與y軸平行的方向上進行第二次平移，得線段A₂B₂，且可知兩次平移中線段AB先后滑過的面積相等（即?AA₁B₁B與?A₁A₂B₂B₁的面積相等）．求出滿足條件的點A₂的坐標(biāo)，并說明△AA₁A₂與△OBK是否相似的理由；
（3）設(shè)線段AB中點為M，又如果使線段AB與雙曲線一起移動，且AB在平移時，M點始終在拋物線y=（x-6）²-6上，試判斷線段AB在平移的過程中，動點A所在的函數(shù)圖象的解析式；（無需過程，直接寫出結(jié)果．）
（4）試探究：在（3）基礎(chǔ)上，如果線段AB按如圖2所示方向滑過的面積為24個平方單位，且M點始終在直線x=6的左側(cè)，試求此時線段AB所在直線與x軸交點的坐標(biāo)，以及M點的橫坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將A代入雙曲線y=中，可得a=，
故a=4，A（3，4）；
由于A、B關(guān)于原點對稱，那么B（-3，-4）．

（2）∵A（3，4），B（-3，-4），則AB間的橫向距離、縱向距離分別為6、8個單位，
∴由題意可得：?AA₁B₁B的面積為48，
又∵?AA₁B₁B與?A₁A₂B₂B₁的面積相等，
∴第二次線段A₁B₁進一步在縱向平移了8個單位．
故：AA₁=6，A₁A₂=8
可知，第二次在平移的方向上可能向上，也可能向下．
∴①當(dāng)線段向上平移時：A（3，4）→A₁（9，4）→A₂（9，12）；
②當(dāng)線段向下平移時：A（3，4）→A₁（9，4）→A₂（9，-4）．
所以A₂的坐標(biāo)為：（9，12）或（9，-4）
又∵OK=3，KB=4，
∴==，
而∠OKB=∠AA₁A₂=90°，
故：△AA₁A₂∽△OBK．

（3）由題意可知：將拋物線y=（x-6）²-6向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得：
A點滿足的解析式為：y=（x-9）²-2．

（4）∵AB=10且使線段AB按如圖所示方向滑過的面積為24個平方單位，M在直線x=6的左側(cè)，
∴AB在平移前后的平行距離為；
過A（3，4）點作AT⊥x軸于T，又可得T點到平移前線段AB的距離為；
∴平移后AB直線與x軸的交點必為T（3，0）．
又可知平移后AB直線解析式為：y=x-4，此時M為拋物線：y=（x-6）²-6與直線：y=x-4的交點，
∴解方程：（x-6）²-6=x-4，
得：x=10±2，
又∵0＜x＜6，
∴x=10-2，
故M的橫坐標(biāo)為10-2．
分析：（1）將A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，即可求得a的值，而A、B關(guān)于原點對稱，由此求出B點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)知：A、B的橫向、縱向距離分別為6、8，若線段AB向x軸正方向移動6個單位，那么它的面積應(yīng)該是6×8=48，由于?AA₁B₁B與?A₁A₂B₂B₁的面積相等，而A、B的橫距離為6，那么第二次平移的距離必為8個單位，然后分向上、向下平移兩種情況分類討論即可得到點A₂的坐標(biāo)；
在求△AA₁A₂與△OBK是否相似，已知∠OKB=∠AA₁A₂=90°，只需比較兩組直角邊是否對應(yīng)成比例即可．
（3）已知了M、A的橫、縱坐標(biāo)的差分別為3、4，因此將過M的拋物線向右平移3個單位后，再向上平移4個單位，即可得到所求的拋物線解析式．
（4）易知AB=10，若平移后掃過的面積為24，那么線段AB平行移動的距離為，過A作x軸的垂線，設(shè)垂足為T，則T到AB的距離為，也就是說點T在平移后的直線AB上（即平移后的直線AB與x軸的交點），易求得直線AB的斜率，結(jié)合點T的坐標(biāo)，即可得到平移后直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式可求得M點的橫坐標(biāo)．
點評：此題是反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義、圖象的平移變換、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的幾何變換、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等重要知識，難度較大．