Question

（2013•寧波模擬）在半徑為4的⊙O中，點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E是射線AB上的任意一點(diǎn)，DF∥AB，DF與CE相交于點(diǎn)F，設(shè)EF=x，DF=y．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，求線段DF的長(zhǎng)；
（3）如果以點(diǎn)E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由OD⊥AC得D是AC的中點(diǎn)，則F也是CE的中點(diǎn)，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y-4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y與x之間的關(guān)系．
（2）連接OC、OF，由EF=CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，則DF即可求出．
（3）此題需分兩種情況：當(dāng)⊙E與⊙O外切于點(diǎn)B時(shí)、當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B時(shí)及當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A時(shí)分別求出DF的值．
解答：解：（1）連接OC．

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=AE=（AO+OE）．
∵點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE===2．
∴y=（4+2）=2+．定義域?yàn)閤≥2；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，連接OC、OF．

EF=CE=OF=4，
∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．

（3）當(dāng)⊙E與⊙O外切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，3x²-8x-32=0，
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=（AB+BE）=（8+）=．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=（AB-BE）=（8-）=．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A時(shí)，AE=FE．∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股形里及中位線的性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，難度大．