Question

（2013•海淀區(qū)一模）如圖1所示，圓上均勻分布著11個(gè)點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A₁₁．從A₁起每隔k個(gè)點(diǎn)順次連接，當(dāng)再次與點(diǎn)A₁連接時(shí)，我們把所形成的圖形稱為“k+1階正十一角星”，其中1≤k≤8（k為正整數(shù)）．例如，圖2是“2階正十一角星”，那么∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=

1260°

；當(dāng)∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=900°時(shí)，k=

2或7

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意先得出∠A₁=7×

180°

11

，從而得到∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁的度數(shù)；分（9-2k）×

360°

11

=2×

900°

11

，
（2k-9）×

360°

11

=2×

900°

11

兩種情況討論可得當(dāng)∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=900°時(shí)，k的值．

解答：解：看圖2，設(shè)圓心為O，則優(yōu)角A₁₀OA₃的度數(shù)為角A₁的2倍．
而優(yōu)角A₁₀OA₃=∠A₁₀OA₉+∠A₉OA₈+∠A₈OA₇+…+∠A₄OA₃，
而每個(gè)∠A_kOA_k-1=

360°

11

，所以，優(yōu)角A₁₀OA₃=7×

360°

11

，
進(jìn)而∠A₁=優(yōu)角A₁₀OA₃÷2=7×

180°

11

，
所以∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=7×180°=1260°；
由題意，∠A₁即為∠A_k+1A₁A_12-k，
當(dāng)k＜6時(shí)，同（1）問，可計(jì)算得那個(gè)優(yōu)角的度數(shù)為（9-2k）×

360°

11

，
因此，（9-2k）×

360°

11

=2×

900°

11

，
解得k=2，
當(dāng)k＞6時(shí)，優(yōu)角的度數(shù)為（2k-9）×

360°

11

，
因此（2k-9）×

360°

11

=2×

900°

11

解得k=7．
綜上，k=2或7．
故答案為：1260°，2或7．

點(diǎn)評(píng)：考查了k+1階正十一角星，關(guān)鍵是理解優(yōu)角A₁₀OA₃的度數(shù)為角A₁的2倍的知識(shí)點(diǎn)．