Question

（本題滿分12分）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（－1，0）、C（3，0），交y軸于點(diǎn)A，

（1）求此拋物線的解析式；

（2）拋物線第一象限上有一動(dòng)點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥軸，垂足為N，請(qǐng)求出的最大值，及此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）拋物線頂點(diǎn)為K，KI⊥x軸于I點(diǎn)，一塊三角板直角頂點(diǎn)P在線段KI上滑動(dòng)，且一直角邊過A點(diǎn)，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

(1) y=－x2+2x+3;(2)(2,3);(3)

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（－1,0）、C（3,0）,可得方程組，解得，a,b

從而求出拋物線的解析式；(2) 第一象限上有一動(dòng)點(diǎn)M(x, －x2+2x+3), MN⊥軸,根據(jù)列出關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的坐標(biāo)即可.(3) 過A作AR⊥KI于R點(diǎn)，則AR=KR =1.

當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，△ARP∽△PIQ.設(shè)PI=n，則RP=3－n，，即n2－3n－m＋1=0,解出方程;

當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（－1,0）、C（3,0）,

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+3.

（2）.

∴最大值為7，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,3)

（3）過A作AR⊥KI于R點(diǎn)，則AR=KR =1

當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，△ARP∽△PIQ.

設(shè)PI=n，則RP=3－n，

∴，即n2－3n－m＋1=0，

∵關(guān)于n的方程有解，△=（－3）2－4（－m＋1）≥0，

得m≥

當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5.

即P為點(diǎn)K時(shí)，∴m≤5

綜上所述，m的變化范圍為：

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用