Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點，設BP=x，若能在AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知首先找出BP取最小值時QO⊥AC，進而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，進而求出PB的取值范圍即可．

解答：解：過BP中點O，以BP為直徑作圓，
連接QO，當QO⊥AC時，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴

QO

AB

=

CO

AC

，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BP=x，
∴QO=

1

2

x，CO=4-

1

2

x，
∴

1 2 x

3

=

4- x 2

5

，
解得：x=3，
當P與C重合時，BP=4，
∴BP=x的取值范圍是：3≤x≤4，
故答案為：3≤x≤4．

點評：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及三角形的相似的性質(zhì)與判定和勾股定理等知識，找出當QO⊥AC時，QO最短即BP最短，進而利用相似求出是解決問題的關(guān)鍵．