Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

4

3

x+8交坐標軸于A、B兩點，AE平分∠BAO交y軸于E，點C為直線y=x上在第一象限內一點．
求：（1）求AB的長；
（2）點E的坐標，并求出直線AE的解析式；
（3）若將直線AE沿射線OC方向平移4

2

個單位，請直接寫出平移后的直線解析式．

Answer 1

分析：（1）分別求出點A、B的坐標，得到OA、OB的長度，然后利用勾股定理即可求出AB的長；
（2）過點E作EF⊥AB于點E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等，得到OE=OF，從而可以證明△AOE與△AFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等，OE=EF，AE=AO，然后在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理列式求解即可得到OE的長，從而求出點E的坐標，再利用待定系數(shù)法求解得到直線AE的解析式；
（3）先利用OC的方向求出橫坐標與縱坐標的變化規(guī)律是向右4個單位，向上4個單位，然后再把直線AE的解析式根據(jù)變化規(guī)律整理即可．

解答：解：（1）當y=0時，

4

3

x+8=0，解得x=-6，
當x=0時，y=

4

3

×0+8=8，
∴點A、點B的坐標分別是A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10；

（2）過點E作EF⊥AB于點E，
∵AE平分∠BAO交y軸于E，
∴OE=EF，
又∵AE=AE，
∴Rt△AOE≌Rt△AFE（HL），
∴AF=OA，
∴BF=AB-AF=10-6=4，
BE=OB-OE=8-OE，
在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²，
即（8-OE）²=4²+OE²，
解得OE=3，
∴點E的坐標是（0，3），
設直線AE的解析式為：y=kx+b，

-6k+b=0 b=3

，
解得

k= 1 2 b=3

，
∴直線AE的解析式為：y=

1

2

x+3；

（3）過C作CD⊥x軸于點D，
∵點C為直線y=x上在第一象限內一點，沿射線OC方向平移4

2

個單位，
∴OD=CD=4

2

×cos45°=4，
∴平移規(guī)律是向右4個單位，向上4個單位，
∴直線AE平移后的直線解析式為y-4=

1

2

（x-4）+3，
即y=

1

2

x+5．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，直線與坐標軸的交點的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，角平分線的性質，勾股定理的應用，以及平移變換的規(guī)律，綜合性較強，但難度不大，只要仔細分析，精心計算不難求解．