Question

已知拋物線y=ax²+bx+c中，4a-b=0，a-b+c＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離小于2．則下列結(jié)論：①abc＜0，②c＞0，③a+b+c＞0，④4a＞c，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，由圖象可得出a，b及c都大于0，即可對(duì)選項(xiàng)①和②作出判斷，由x=1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，故將x=1代入函數(shù)解析式，得到a+b+c大于0，可得出選項(xiàng)③正確，由拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，然后將其中的b換為4a，整理后可得出4a大于c，得到選項(xiàng)④正確，綜上，得到正確的選項(xiàng)有3個(gè)．
解答：∵拋物線y=ax²+bx+c中，4a-b=0，a-b+c＞0，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-=-=-2，且x=-1對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)在x軸上方，
又這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離小于2，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

可得：a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤，選項(xiàng)②正確；
由圖象可得：當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＞0，故選項(xiàng)③正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，又4a-b=0，即b=4a，
∴（4a）²-4ac＞0，即4a（4a-c）＞0，
∴4a-c＞0，即4a＞c，故選項(xiàng)④正確，
綜上，正確的選項(xiàng)有②③④共3個(gè)．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．