Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O 上一點，過D點作直線EF，BH⊥EF交⊙O于點C，垂足為H，且BD平分∠ABH．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AB=4，BH=3，求①BD；②求由弦BD和

BD

所組成的陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出DO∥HB，即可得出∠ODH=90°，進而得出答案；
（2）①首先得出△BDH∽BAD，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
②利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠DBA=30°以及NO的長，進而得出∠BOD的度數(shù)，再利用扇形面積公式和三角形面積求法得出即可．

解答：（1）證明：連接DO，
∵BD平分∠ABH，
∴∠HBD=∠DBA，
∵BO=DO，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠HDB，
∴DO∥HB，
∵BH⊥EF，
∴∠ODH=90°，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：①連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BHD=∠ADB，
∵∠HBD=∠DBA，
∴△BDH∽BAD，
∴

BD

AB

=

BH

BD

，
∴BD²=4×3=12，
∴BD=2

3

；

②過點O作ON⊥BD于點N，
∵BD=2

3

，AB=4，
∴cos∠DBA=

BD

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠DBA=30°，
∴ON=

1

2

BO=

1

2

×2=1，∠BON=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弦BD和

BD

所組成的陰影部分的面積為：S_扇形BOD-S_△BOD=

120π×22

360

-

1

2

×1×2

3

=

4

3

π-

3

．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定和扇形面積求法和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出△BDH∽BAD是解題關(guān)鍵．