Question

直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，梯形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)如圖所示，
（1）直接寫(xiě)出OA所在直線的解析式；
（2）求經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）試在（2）中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出D的坐標(biāo)；
（4）設(shè)P點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線O→A→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，求從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線OA的解析式是y=kx，把A（3，4）代入求出k即可；
（2）經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式是y=a（x-0）（x-12），把A（3，4）代入求出a即可；
（3）求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（直線x=6），根據(jù)全等得出OC=OC，A和D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出A與D關(guān)于x=6對(duì)稱(chēng)時(shí)，所得的三角形和△ACO全等，根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出D的坐標(biāo)；
（4）求出AO、AB，分為兩種情況：①當(dāng)P在OA上時(shí)，根據(jù)sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，求出PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，即可得出答案；②當(dāng)P在AB上時(shí)，即可得出P的縱坐標(biāo)是4，橫坐標(biāo)是2t-5．

解答：解：（1）設(shè)直線OA的解析式是y=kx，
把A（3，4）代入得：k=

4

3

，
∴OA所在直線的解析式是y=

4

3

x．

（2）∵O（0，0），C（12，0），
∴設(shè)經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式是y=a（x-0）（x-12），
把A（3，4）代入得：4=a（3-0）×（3-12），
解得：a=-

4

27

，
∴y=-

4

27

（x-0）（x-12）=-

4

27

x²+

16

9

x，
答：經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式是y=-

4

27

x²+

16

9

x．

（3）∵y=-

4

27

x²+

16

9

x=-

4

27

（x-6）²+

16

3

，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=6，
∵在拋物線上找一點(diǎn)D，使得以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，A（3，4）
∴OC=OC，D于A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)A、D關(guān)于直線x=6對(duì)稱(chēng)時(shí)，以以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形才與△AOC全等，
即6-3=3，6+3=9，
∴D的坐標(biāo)是（9，4）．

（4）過(guò)A作AH⊥OC于H，PN⊥OC于N，
∵A（3，4），B（11，4），
∴AB∥x軸，
∴由勾股定理得：OA=5，
分為兩種情況：
①當(dāng)P在OA上時(shí)，OP=2t，sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，
解得：PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，
∴P的坐標(biāo)是（

6

5

t，

8

5

t）；
∵OA=5，
2t=5，
t=2.5，
∴此時(shí)t的范圍是0≤t≤2.5
②當(dāng)P在AB上時(shí)，P的縱坐標(biāo)是4，橫坐標(biāo)是OH+HM=3+2（t-2.5）=2t-2，
即P的坐標(biāo)是（2t-2，4），
∵11-3=8，8+5=13，13×

1

2

=6.5
∴此時(shí)t的范圍是2.5≤t≤6.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．用了分類(lèi)討論思想．