Question

（1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象開口向下，并經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），（1，0）．下列命題其中一定正確的是______．
（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上，少填或錯(cuò)填不給分）．
①當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大
②當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小
③存在一個(gè)正數(shù)m，使得當(dāng)x≤m時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥m時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小
④存在一個(gè)負(fù)數(shù)m，使得當(dāng)x≤m時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥m時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
⑤a+2b＞-2c
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=x²從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．
請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)M，使得線段PB最短；若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得a+c=1，b=-1．因此a+2b+2c=a-2+2（1-a）=-a，由于拋物線開口向下，因此a＜0，所以a+2b+2c＞0，即a+2b＞-2c．所以⑤成立．
已得出拋物線的解析式為y=ax²-x+1-a，拋物線的對(duì)稱軸為x=，a＜0，因此拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．
因此x≥0時(shí)，y隨x的增大而減小．
當(dāng)x≤時(shí)，y隨x的增大而增大．
當(dāng)＜x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．
∴④⑤正確，而①②③錯(cuò)誤．
（2）可先求出直線OA的解析式，然后根據(jù)直線OA的解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于M是拋物線的頂點(diǎn)，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將x=2代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即PB長的表達(dá)式，可根據(jù)此函數(shù)的性質(zhì)來求出PB的最大值及對(duì)應(yīng)的M的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）④⑤

（2）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x
∵設(shè)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m），
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．