Question

如圖，半圓O的半徑為1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圓上任意一點，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：連接DC，并延長交BA的延長線于點G，欲使封閉圖形ACPDB的面積最大，因梯形ACDB的面積為定值，故只需△CPD的面積最�。�而CD為定值，故只需使動點P到CD的距離最�。疄榇俗靼雸A平行于CD的切線EF，設切點為P′，并分別交BD及BA的延長線于點F，E．連接OC，由△CGA∽△DGB即可求出GA=AO=AC=1，再根據(jù)當動點P取在P′的位置時，到CD的距離最小，進而可求出答案．

解答：解：如圖，連接DC，并延長交BA的延長線于點G，欲使封閉圖形ACPDB的面積最大，
因梯形ACDB的面積為定值，故只需△CPD的面積最小．
而CD為定值，故只需使動點P到CD的距離最�。�
為此作半圓平行于CD的切線EF，設切點為P′，并分別交BD及BA的延長線于點F，E．
連接OC，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴△CGA∽△DGB，
∴

CA

DB

=

GA

GB

，
∴GA=AO=AC=1．
∴△ACO和△GAC是等腰直角三角形，
∴∠GCA=∠OCA=45°，
∴∠GCO=90°，
∴OC⊥GD．OC⊥EF，
∴切點P′就是OC與半圓的交點．
即當動點P取在P′的位置時，到CD的距離最小，而OC=

2

，
∴CP?=

2

-1，
∴S_△CP?D=

1

2

×2

2

×（

2

-1）=2-

2

，
∴封閉圖形ACPDB的最大面積為：

1

2

×（1+3）×2-（2-

2

）=4-2+

2

=2+

2

．
故答案為：2+

2

．

點評：本題考查的是面積及等積變換，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出相似三角形，利用相似三角形的性質解答．