Question

對(duì)同一圖形，從不同的角度看就會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)，請根據(jù)右圖解決以下問題：
（1）如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分別以AB、AC所在的直線為對(duì)稱軸，作出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為E、F，延長EB、FC相交于G點(diǎn)，試證明四邊形AEGF是正方形；
（2）如圖，在邊長為12cm的正方形AEFG中，點(diǎn)B是邊EG上一點(diǎn)，將邊AE、AF分別沿AB、AC向內(nèi)翻折至AD處，則點(diǎn)B、D、C在一條直線上，若EB=4cm，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由軸對(duì)稱及已知條件可以得出∠E=∠F=∠EAF=90°AE=AF，再根據(jù)正方形的判定方法就可以得出四邊形AEGF是正方形．
（2）根據(jù)條件可以求出BG=8，BD=4，設(shè)出CF=x，則BC=4+x，GC=12-x，由勾股定理建立等量關(guān)系求出x的值，再利用三角形的面積公式就可以求出其值．

解答：解：（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵△ABE與△ABD關(guān)于AB對(duì)稱，△ACF與△ACD關(guān)于AC對(duì)稱，
∴AE=AF，∠E=∠F=90°，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC．
∵∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠BAD+∠CAD+∠BAE+∠FAC=90°，
∴四邊形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形．

（2）∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠E=∠G=∠F=90°，AE=GE=GF=AF=12，
∵BE=4，
∴BG=8，
設(shè)CF=x，則BC=4+x，GC=12-x，
∴64+（12-x）²=（4+x）²，解得
x=6，
∴BC=10，
∴S_△ABC=

1

2

×10×12=60．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道軸對(duì)稱問題的解答題，考查了三角形的面積，正方形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．