Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于E，且DE=4，AD=18，∠C=60°．
（1）BC=______；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，速度為2個(gè)單位/秒，沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，速度為3個(gè)單位/秒，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①t=______秒時(shí)，四邊形PQED是矩形；
②t為何值時(shí)，線段PQ與梯形ABCD的邊構(gòu)成平行四邊形？
③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數(shù)值可求CE，進(jìn)而可求CD，再利用等腰梯形的性質(zhì)可求BC；
（2）①先畫圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對(duì)邊相等，于是PD=QE，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間，可得2t=26-4-3t，進(jìn)而可求t；
②有兩種情況：A、是PQ與AB構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，可得AP=BQ，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間，可得3t=18-2t，進(jìn)而可求t；
B、是PQ與CD構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，可得PD=CQ，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間，可得2t=26-3t，進(jìn)而可求t；
③根據(jù)②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．
解答：解：（1）如右圖，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵四邊形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；

（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，四邊形PQED是矩形，如右圖，
∵四邊形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
②有兩種情況：
A、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，線段PQ與AB構(gòu)成平行四邊形，如右圖，
∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
B、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，線段PQ與CD構(gòu)成平行四邊形，如右圖，
∵四邊形PQCD是平行四邊形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t=，
③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，
A、當(dāng)t=時(shí)，BQ=3t=，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四邊形ABQP不是菱形，
B、當(dāng)t=時(shí)，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四邊形PQCD不是菱形．
故答案是26；．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出相關(guān)的圖，根據(jù)圖找出等量關(guān)系，進(jìn)而求出t．