Question

已知△ABC，AB=BC，∠ABC=90゜，E為直線BC上一點，EF⊥AE且EF=AE，連CF．（1）如圖1，若點E在線段BC上，求∠FCE的度數(shù)；
（2）如圖2，若點E在CB的延長線上，求∠FCE的度數(shù)；
（3）如圖3，若點E在BC的延長線上，完成作圖，并直接寫出∠FCE=45゜．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于M，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△ABE和△EMF中，，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=MF，AB=EM，
∵AB=BC，
∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE，
∴CM=MF，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°，
∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°；

（2）如圖2，過點F作FM⊥BC于M，
與（1）思路相同可證△CMF是等腰直角三角形，
所以，∠FCE=45°；

（3）如圖3，過點F作FM⊥BC，交CB的延長線于M，
與（1）思路相同可證△CMF是等腰直角三角形，
所以，∠FCM=45°，
即∠FCE=45°．
分析：（1）過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于M，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠MEF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△EMF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=MF，AB=EM，然后求出CM=MF，從而求出△CMF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠FCM=45°，然后根據(jù)平角的定義求出∠FCE=135°；
（2）過點F作FM⊥BC于M，與（1）的求解思路相同可得△CMF是等腰直角三角形，然后解答即可；
（3）過點F作FM⊥BC，交CB的延長線于M，與（1）的求解思路相同可得△CMF是等腰直角三角形，然后解答即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，此類題目往往后面小題的求解思路與第（1）小題的求解思路相同，做題時要根據(jù)具體題目靈活運用．