Question

如圖Rt△ABC中有兩種作內(nèi)接正方形的方法．圖（1）作的內(nèi)接正方形面積為441，（2）中作的內(nèi)接正方形的面積為440，則AC+BC的值為（　　）

• A、456
• B、458
• C、460
• D、462

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，先由正方形的性質(zhì)，可得：EF∥BC，Rt△AFE∽R(shí)t△ACB，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得21（a+b）=ab，然后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，用含a、b、c的代數(shù)式分別表示圖（1）與圖（2）中各個(gè)三角形的面積，根據(jù)△ABC的面積不變，列出方程，結(jié)合勾股定理，即可求得AC+BC的值．

解答：解：如圖，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
在圖（1）中，∵四邊形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，
∴Rt△AFE∽R(shí)t△ACB，
∴EF：BC=AF：AC，21：a=（b-21）：b，
∴a+b=

1

21

ab．①
∵S_△AEF：S_△ABC=（EF：BC）²，即S_△AEF：

1

2

ab=441：a²，
∴S_△AEF=

441b

2a

，
同理，S_△BDE=

441a

2b

．
在圖（2）中，∵四邊形MNPQ是正方形，
∴MQ∥AB，
∴RT△QCM∽R(shí)t△ACB，
∴S_△QCM：S_△ACB=（QM：AB）²，即S_△QCM：

1

2

ab=440：c²，
∴S_△QCM=

220ab

c2

，
同理，易求S_△APQ=

440b

2a

，S_△BMN=

440a

2b

，
∵S_△AEF+S_△BDE+S_{正方形CDEF}=S_△APQ+S_△CMQ+S_△BMN+S_{正方形MNPQ}=S_△ABC，
∴

441b

2a

+

441a

2b

+441=

440b

2a

+

220ab

c2

+

440a

2b

+440，
∴

b

2a

+

a

2b

+1=

220ab

c2

，
∴（a+b）²=

440a2b2

c2

，
將①代入上式，整理得c²=440×441．
∵（a+b）²=a²+b²+2ab=440×441+42（a+b），
∴（a+b）²-42（a+b）-440×441=0，
解得：a+b=462（另一個(gè)解-420舍去），
∴AC+BC=462．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與方程思想．