Question

（2007•嘉興）如圖，已知A（8，0），B（0，6），兩個動點(diǎn)P、Q同時在△OAB的邊上按逆時針方向（→O→A→B→O→）運(yùn)動，開始時點(diǎn)P在點(diǎn)B位置，點(diǎn)Q在點(diǎn)O位置，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒1個單位．
（1）在前3秒內(nèi)，求△OPQ的最大面積；
（2）在前10秒內(nèi)，求P、Q兩點(diǎn)之間的最小距離，并求此時點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；
（3）在前15秒內(nèi)，探究PQ平行于△OAB一邊的情況，并求平行時點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．在前3秒內(nèi)，點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)Q在OA上，設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)P，Q位置如圖．則OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t（3-t），當(dāng)t=時，S_max=．
（2）在前10秒內(nèi)，點(diǎn)P從B開始，經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)A，最后到達(dá)AB上，經(jīng)過的總路程為20；點(diǎn)Q從O開始，經(jīng)過點(diǎn)A，最后也到達(dá)AB上，經(jīng)過的總路程為10．其中P，Q兩點(diǎn)在某一位置重合，最小距離為0．設(shè)在某一位置重合，最小距離為0．
設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)Q被點(diǎn)P“追及”（兩點(diǎn)重合），則2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒內(nèi)，P，Q兩點(diǎn)的最小距離為0，點(diǎn)P，Q的相應(yīng)坐標(biāo)為（6，0）．
（3）①設(shè)0≤t＜3，則點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．若PQ∥AB，則=，
∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，0）．（2分）
②設(shè)3≤t≤7，則點(diǎn)P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
③設(shè)7＜t＜8，則點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．若PQ∥OB，
則=，∴=，
解得t=．
此時，P（，），Q（，）．（2分）
④設(shè)8≤t≤12，則兩點(diǎn)P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
⑤設(shè)12＜t＜15，則點(diǎn)P在OB上、點(diǎn)Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，則=，∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，）．（2分）
解答：解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒內(nèi)，點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)Q在OA上，設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)P，Q位置如圖．
則OP=6-2t，OQ=t．∴△OPQ的面積A=OP•OQ=t（3-t），（2分）
當(dāng)t=時，S_max=．（2分）

（2）在前10秒內(nèi)，點(diǎn)P從B開始，經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)A，最后到達(dá)AB上，經(jīng)過的總路程為20；點(diǎn)Q從O開始，經(jīng)過點(diǎn)A，最后也到達(dá)AB上，經(jīng)過的總路程為10．其中P，Q兩點(diǎn)在某一位置重合，最小距離為0．
設(shè)在某一位置重合，最小距離為0．
設(shè)經(jīng)過t秒，點(diǎn)Q被點(diǎn)P“追及”（兩點(diǎn)重合），則2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒內(nèi)，P，Q兩點(diǎn)的最小距離為0，點(diǎn)P，Q的相應(yīng)坐標(biāo)為（6，0）．（4分）

（3）①設(shè)0≤t＜3，則點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t．
若PQ∥AB，則=，∴=，解得t=．
此時，P（0，），Q（，0）．（2分）
②設(shè)3≤t≤7，則點(diǎn)P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
③設(shè)7＜t＜8，則點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在OA上，AP=2t-14，AQ=8-t．
若PQ∥OB，則=，∴=，解得t=．
此時，P（，），Q（，0）．（2分）
④設(shè)8≤t≤12，則兩點(diǎn)P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一邊的情況．
⑤設(shè)12＜t＜15，則點(diǎn)P在OB上、點(diǎn)Q在AB上，BP=2t-24，BQ=18-t．
若PQ∥OA，則=，∴=，
解得t=．
此時，P（0，），Q（，）．（2分）


點(diǎn)評：此題很復(fù)雜，把動點(diǎn)問題與實(shí)際相結(jié)合，有一定的難度，解答此題的關(guān)鍵是分別畫出t在不同階段Q的位置圖，結(jié)合相應(yīng)的圖形解答．