Question

如圖1，直線與軸、軸分別相交于點C、D，一個含45º角的直角三角板的銳角頂點A在線段CD上滑動，滑動過程中三角板的斜邊始終經過坐標原點，∠A的另一邊與軸的正半軸相交于點B。

（1）試探索△AOB能否構成以AO、AB為腰的等腰三角形。若能，請求出點B的坐標；若不能，說說明理由；

（2）若將題中“直線”、“∠A的另一邊與軸的正半軸相交于點B”分別改為“直線”、“∠A的另一邊與軸的負半軸相交于點B”（如圖2），其他條件不變，試探索△AOB能否為等腰三角形（只考慮點A在線段CD的延長線上且不包括點D時的情況）。若能，請求出點B的坐標；若不能，請說明理由

 

Answer 1

解：代入，代入，

得點C、D的坐標分別為（1，0）、（0，1）。

則OC=OD=1，CD=，∠OCD=∠ODC=45º。

（1）△AOB可以構成以AO、AB為腰的等腰三角形。

∵AO=AB，∠OAB=45º，

∴∠AOB=∠ABO=67.5º，∠DOA=22.5º，

又∵∠ABO=∠BAC+∠ACB，即67.5º=∠BAC+45º，

∴∠BAC=22.5º=∠DOA，

∴△ABC≌△OAD，

∴AC=OD=1，BC=AD=CD－AC=－1，

則OB=OC－BC=2－，點B的坐標為（2－，0），

即在滑動過程中△AOB可以構成以AO、AB為腰的等腰三角形，

此時點B的坐標為（2－，0）。

（2）若△OAB為等腰三角形，則有如下三種情況：

①OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45º，因此∠AOB=90º，點A與點D重合，不合題意。

②BA=BO，則∠BAO=∠BAO，∴OA∥CA，因此不合題意。

③AB=AO，

∵∠BAO=45º，∴∠AOB=∠ABO=67.5º，

∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=22.5º

∴∠OAD=∠ODC－∠AOD=22.5º=∠AOD

∴∠ABC=∠BAC=67.5º

由知CD=OD=，DC=，

∴AD=OD=，BC=AC=AD+DC=+，

∴BO=BC－OC=，

∴點B的坐標為（，0）。