Question

如圖（1），∠ABC=90°，O為射線BC上一點，OB=4，以點O為圓心，長為半徑作⊙O交BC于點D、E．
（1）當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時第一次與⊙O相切？請說明理由；
（2）若射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時與⊙O相交于M、N兩點，如圖（2），求線段MN與所圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當AB與⊙O第一次相切時，點O在射線BA的距離等于⊙O的半徑，即O到射線BA的距離為2，此時sin∠ABO=，可據(jù)此求出旋轉(zhuǎn)的角度．
（2）所求的面積是弓形MN的面積，需要先求出圓心角∠MON的度數(shù)；過O作OP⊥AB于P，易知∠ABO=30°，即可求得OP的長，進而可在Rt△OPM中，求得∠MOP、∠NOP的度數(shù)，即可得圓心角∠MON的度數(shù)，然后分別求出扇形MON、△MON的面積，它們的面積差即為所求弓形的面積．
解答：解：（1）若射線BA與⊙O相切，則圓心O到射線BA的距離等于⊙O的半徑長，即2；
此時sin∠ABO==，即∠ABO=45°；
因此當射線BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°時第一次與⊙O相切．

（2）過O作OP⊥AB于P；
在Rt△BOP中，∠OBP=30°，OB=4，則OP=2；
在Rt△MOP中，OM=2，OP=2，則MP=OP=2，∠OMP=45°；
∴△MON是等腰直角三角形，且MN=4，OP=2；
S_弓形MN=S_扇形MON-S_△MON=-×4×2=2π-4；
即線段MN與所圍成圖形的面積為：2π-4．
點評：此題主要考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形以及扇形面積的計算方法，難度不大．