Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-3，0）、（0，3）．
（1）一次函數圖象上的兩點P、Q在直線AB的同側，且直線PQ與y軸交點的縱坐標大于3，若△PAB與△QAB的面積都等于3，求這個一次函數的解析式；
（2）二次函數的圖象經過點A、B，其頂點C在x軸的上方且在直線PQ上，求這個二次函數的解析式；
（3）若使（2）中所確定的拋物線的開口方向不變，頂點C在直線PQ上運動，當點C運動到點C′時，拋物線在x軸上截得的線段長為6，求點C′的坐標．

Answer 1

解：（1）由已知，不妨設直線PQ與x軸、y軸的交點分別為P、Q；
∵S_△QAB=3，即BQ•AO=3，而AO=3，可求得BQ=2；
∵直線PQ與y軸交點的縱坐標大于3，
∴點Q的坐標為（0，5）；
同樣可求得PA=2；
由于P、Q兩點在直線AB的同側，
所以點P的坐標為（-5，0）；
設直線PQ的解析式為y=kx+b，則
，
解得，
因此所求一次函數的解析式為y=x+5；

（2）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c；
∵二次函數的圖象過A（-3，0）、B（0，3）兩點，
∴9a-3b+c=0 ①，c=3 ②
將②代入①，
解得b=3a+1；
于是二次函數的解析式為y=ax²+（3a+1）x+3；
其頂點C的坐標為（）；
∵點C在直線y=x+5上，
∴=；
整理，得9a²+8a-1=0，
解這個方程，得，a₂=-1；
經檢驗a₁=，a₂=-1都是原方程的根；
但拋物線的頂點C在x軸的上方，且過A、B兩點，
所以拋物線開口向下，將a=舍去，取a=-1；
∴所求的二次函數的解析式為y=-x²-2x+3；

（3）解法一：設點C′的橫坐標為m；
由于點C′在直線y=x+5上，可求出點C′的縱坐標為m+5；
即點C′的坐標為（m，m+5）；
則運動后以C′為頂點的拋物線的解析式為
y=-（x-m）²+m+5；
設運動后的拋物線在對稱軸右側與x軸交點的橫坐標為x₀，
由已知，有x₀=m+3；
即拋物線與x軸一個交點的坐標為（m+3，0）
∴0=-（m+3-m）²+m+5；
解得m=4；
∴m+5=9，于是點C′的坐標為（4，9）；
解法二：
同解法一求得以C′為頂點的拋物線的解析式為y=-（x-m）²+m+5；
即y=-x²+2mx-m²+m+5，
設這條拋物線與x軸的交點為（x₁，0）、（x₂，0）
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m²-m-5；
由已知|x₁-x₂|=6，
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，即（2m）²-4（m²-m-5）=36，
解得m=4；
∴m+5=9，于是點C′的坐標為（4，9）．
分析：（1）由于PQ與y軸的交點縱坐標大于3，則P、Q同在直線AB的左側；可設P在x軸上，Q在y軸上，根據△PAB與△QAB的面積即可求出PA、QB的長，由此可得到P、Q的坐標，即可求出直線PQ的解析式；
（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據B點的坐標，可確定c的值，根據A點的坐標可求出a、b的關系式；進而可用a表示出拋物線的解析式，然后表示出頂點的坐標，由于頂點在直線PQ上，可將其代入直線PQ的解析式中，即可求出待定系數a的值，由此可得到拋物線的解析式；
（3）可設C′的橫坐標為m，根據直線PQ的解析式即可確定其縱坐標，由此可得到平移后的函數解析式；進而可求出其與x軸交點的坐標，再根據兩個交點間的距離為6，可列出關于m的方程，進而求出C′的坐標．
點評：此題主要考查了三角形面積的求法、二次函數解析式的確定、二次函數圖象的平移、根與系數的關系等重要知識點，綜合性強，難度較大．