Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸相交于點

（1）則_________；點坐標為___________；

（2）在直線上方的拋物線上是否存在一點，使得它與，兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時點坐標；若不存在，請簡要說明理由．

（3）為拋物線上一點，它關于直線的對稱點為

①當四邊形為菱形時，求點的坐標；

②點的橫坐標為，當________時，四邊形的面積最大．

Answer 1

【答案】（1）4，（0，4）；（2）存在，（2，6）；（3）①點坐標為或；②2．

【解析】

（1）用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先判斷出面積最大時，平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點，從而求出點M坐標；

（3）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；

②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數關系式，從而確定出它的最大值．

解：（1）將B（4，0）代入y＝－x2＋3x＋m，

解得，m＝4，

∴二次函數解析式為y＝－x2＋3x＋4，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4），

故答案為：4，（0，4）；

（2）存在，

理由：∵B（4，0），C（0，4），

∴直線BC解析式為y＝－x＋4，

當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，

∴，

∴x2－4x＋b＝0，

∴△＝16－4b＝0，

∴b＝4，

∴，

∴M（2，6），

（3）①如圖，

∵點P在拋物線上，

∴設P（m，－m2＋3m＋4），

當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴線段BC的垂直平分線的解析式為y＝x，

∴m＝－m2＋3m＋4，

∴m＝1±，

∴P（1＋，1＋）或P（1－，1－），

②如圖，

設點P（t，－t2＋3t＋4），

過點P作y軸的平行線l，過點C作l的垂線，

∵點D在直線BC上，

∴D（t，－t＋4），

∵PD＝－t2＋3t＋4－（－t＋4）

＝－t2＋4t，

BE＋CF＝4，

∴S四邊形PBQC＝2S△PCB

＝2（S△PCD＋S△PBD）

＝2（PD×CF＋PD×BE）

＝4PD

＝－4t2＋16t，

∵0＜t＜4，

∴當t＝2時，S四邊形PBQC最大＝16，

故答案為：2．