Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）．連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖）．
設CP=x，DE=y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）若點P在線段DC上運動時，點E總在線段AD上，求m的取值范圍；
（3）當m=8時，是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點F落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△CPM∽△DEP得$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$由此即可解決問題．
（2）y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx，根據(jù)函數(shù)的最大值是4，列出不等式即可解決問題．
（3）存在，過P作PH垂直于AB，由對稱的性質得到：PD′=PD=8-x，ED′=ED=y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，EA=AD-ED=$\frac{1}{2}$x²-4x+4，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8-x，根據(jù)勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的x的值．

解答 解：（1）：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又CP=x，DE=y，AB=DC=m，∴DP=m-x，
又M為BC中點，BC=4，∴CM=2，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{m-x}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx．
（2）由題意：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$mx≤4，
∴$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×0-（\frac{1}{2}m）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$≤4，
∴m²≤32，
∵m＞0
∴0＜m≤4$\sqrt{2}$．

（3）存在，過P作PH⊥AB于點H，

∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，
∴PD′=PD=8-x，ED′=ED=y=-$\frac{1}{2}$x²+4x，EA=AD-ED=$\frac{1}{2}$x²-4x+4，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8-x，
根據(jù)勾股定理得：D′H=$\sqrt{{（8-x）^{2}-4}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-16x+48}$，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴$\frac{ED′}{D′P}$=$\frac{EA}{D′H}$，即，$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x}{8-x}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+4}{\sqrt{{x}^{2}-16x+48}}$，
整理得：x²-4x+2=0，
解得：x=2$±\sqrt{2}$．
當x=2+$\sqrt{2}$時，y=5+2$\sqrt{2}$＞4，
此時，點E在邊DA的延長線上，D關于直線PE的對稱點不可能落在邊AB上，所以舍去．
當x=2-$\sqrt{2}$時，y=5-2$\sqrt{2}$＜4，此時，點E在邊AD上，符合題意．
所以當x=2-$\sqrt{2}$時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，對稱的性質，矩形的性質，以及一元二次方程的應用，利用了數(shù)形結合的數(shù)學思想，靈活運用相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．