Question

（2012•峨眉山市二模）如圖，拋物線y=-x²+2012的圖象與y正半軸的交點為A，將線段OA分成2012等分，設分點分別為P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₁，過每個分點作y軸的垂線，分別與拋物線交于點Q₁，Q₂，Q₃，…，Q₂₀₁₁，把Rt△OP₁Q₁，Rt△P₁P₂Q₂，Rt△P₂P₃Q₃…，Rt△P₂₀₁₀P₂₀₁₁Q₂₀₁₁的面積分別記為S₁，S₂，S₃…，S₂₀₁₁，則S12+S22+…+S20112=

1011533

2

（或505766.5）

．

Answer 1

分析：S₁、S₂、…、S₂₀₁₁中，所有三角形在y軸上的直角邊都是1，因此只需考慮它們的另一條直角邊即可；也可以看作，這些三角形面積的平方和等于所有Q點橫坐標的平方和，可先表示出點Q的橫坐標的平方，結合等差數(shù)列即可求出代數(shù)式的值．

解答：解：設點Q（

2012-y

，y）；（0＜y＜2012）
那么 Q_n（

2012-n

，n）．（1≤n≤2011）
S₁²=

1

4

（2012-1）=

1

4

×2011
S₂²=

1

4

（2012-2）=

1

4

×2010
S₃²=

1

4

（2012-3）=

1

4

×2009
…
S₂₀₁₁²=

1

4

（2012-2011）=

1

4

×1
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S₂₀₁₁²=

1

4

（2011+2010+2009+…+1）=

1

4

×

2011×(2011+1)

2

=

1011533

2

故填：

1011533

2

．

點評：此題的難度適中，把握住每個直角三角形一條直角邊都是1是解答題目的關鍵，此外，還需牢記等差數(shù)列的求和公式S_n=

n(a1+an)

2

．