Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿著射線BC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿著線段CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時(shí)，求t的值；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出等量關(guān)系，求出t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，S=S_△AQE，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN=10

3

，
∴CD=60．
∵△CPQ∽△DAQ，
∴

CP

DA

=

CQ

DQ

，
∴

20-t

20

=

2t

60-2t

，
∴t₁=10，t₂=60（不合題意），
∴t=10．（5分）


（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F．
∴PF=

3

2

t，PG=

3

2

(20-t)，
∴S△ABP=

1

2

AB×PF=10

3

t，S△CPQ=

1

2

CQ•PG=

3

2

t(20-t)，
S=S_梯形ABCD-S_△ADQ-S_△CPQ-S_△ABP=500

3

-

1

2

(60-2t)×10

3

-

3

2

t(20-t)-10

3

t=

3

2

(t2-20t+400)．（0＜t≤20）（8分）
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，
過P作PH⊥AB于H，則
設(shè)AP與CD交于點(diǎn)E，
∵

EC

AB

=

PC

PB

，∴EC=

40t-800

t

，
∴QE=CQ-CE=

2t2-40t+800

t

．
∴y=

1

2

×

2t2-40t+800

t

×10

3

=

10 3 (t2-20t+400)

t

．（20＜t≤30）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，有關(guān)梯形、三角形面積的相關(guān)知識(shí)解決函數(shù)問題．