Question

如圖，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（3，0）是x軸正半軸上一點(diǎn)，S_△OAB=3．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）點(diǎn)C是雙曲線（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C做x軸的平行線，與y=x的圖象交于點(diǎn)D，是否存在以點(diǎn)O、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若能得到以點(diǎn)O、P、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB，根據(jù)△OAB的面積可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式可得出k的值．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，a），則可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，a），分兩種情況討論，①點(diǎn)C、D在點(diǎn)A下方時(shí)，②點(diǎn)C、D在點(diǎn)A上方時(shí)，根據(jù)CD=OB可得出關(guān)于a的方程，解出即可．
（3）根據(jù)（2）求得的點(diǎn)C及點(diǎn)D坐標(biāo)，結(jié)合梯形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB，

由題意得，S_△OBA=×OB×AH=3，
∵OB=3，
∴AH=2，
∵點(diǎn)A在函數(shù)y=x的圖象上，
∴點(diǎn)A為（2，2），
把點(diǎn)A代入中，可得2=，
解得：k=4．
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），k的值為4．
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，可得D（a，a），
分兩種情況：
①點(diǎn)C、D在點(diǎn)A下方時(shí)：，
若四邊形OBCD為平行四邊形，CD=OB=3，
即，整理得：a²+3a-4=0，
解得：a₁=-4（舍），a₂=1，
即C（4，1）．
②點(diǎn)C、D在點(diǎn)A上方時(shí)：，
若四邊形OBDC為平行四邊形，CD=OB=3，
即，整理得：a²-3a-4=0，
解得：a₁=4（舍），a₂=-1（舍），
即C（1，4）．
（3）①當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，要使O、P、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)應(yīng)大于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)：P_橫＞4；
②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4）時(shí)，要使O、P、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)應(yīng)大于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)：P_橫＞4；
綜上可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于4．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及梯形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵在于求出k的值，另外要求我們掌握梯形的特點(diǎn)及平行四邊形的性質(zhì)，難度適當(dāng)．