Question

某電影院共有1000個(gè)座位，票價(jià)不分等次，該影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)念是：當(dāng)票價(jià)不超過(guò)10元時(shí)，票可以全部售出；當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，影院準(zhǔn)備制定一個(gè)合適的票價(jià)，票價(jià)需滿足以下幾個(gè)條件：①票價(jià)為1元的整數(shù)倍；②放映一場(chǎng)電影的成本費(fèi)用為5750元，票房收入必須高于成本費(fèi)用．
求：（1）一張電影票的最低價(jià)格為多少元？
（2）當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，若票價(jià)為每張x（元），放映一場(chǎng)利潤(rùn)為y（元），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)每張票多少元時(shí)，放映一場(chǎng)電影的利潤(rùn)最高？最高為多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用影院放映一場(chǎng)的成本費(fèi)用支出為5750元，票房收入必須高于成本費(fèi)用，該影院共有l(wèi)000個(gè)座位，即可求出x的最小值；
（2）根據(jù)利潤(rùn)=票房收入-成本費(fèi)用，即可求出當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)票價(jià)不超過(guò)l0元時(shí)，利用一次函數(shù)的增減性求出最值，當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，再比較即可．

解答：解：（1）∵影院放映一場(chǎng)電影的成本費(fèi)用為5750元，票房收入必須高于成本費(fèi)用，
∴票房收入＞5750元，
∵該影院共有l(wèi)000個(gè)座位，
∴一張電影票的價(jià)格＞5.75元，
又∵票價(jià)為l元的整數(shù)倍，
∴該院一張電影票的最低價(jià)格為6元；

（2）當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750，
∵

1000-30(x-10)＞0 -30x2+1300x-5750＞0

，
∴5＜x＜38

1

3

，
又∵x為大于10的整數(shù)，
∴10＜x≤38．
∴y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤38的整數(shù)）；

（3）當(dāng)票價(jià)不超過(guò)l0元時(shí)：y=1000x-5750，
∵1000＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=10時(shí)，y的值最大，此時(shí)y=1000×10-5750=4250（元）；
當(dāng)票價(jià)高于10元時(shí)，y=-30x²+1300x-5750，
∵-30＜0，
∴當(dāng)x=

-1300

2×(-30)

=21

2

3

≈22時(shí)，y的值最大，此時(shí)y=-30×22²+1300×22-5750=8330（元）．
綜上可知，當(dāng)每張票定為22元時(shí)，放映一場(chǎng)電影的利潤(rùn)最高，最高為8330元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的最值求法，利用已知條件根據(jù)自變量的取值范圍得出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．