Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC邊上的中線，分別以AC、AB所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）
（1）求直線BD的函數(shù)關(guān)系式．
（2）直線BD上是否存在點(diǎn)M，使AM=AC？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出一次函數(shù)的一般形式，求出B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入求得直線BD的函數(shù)關(guān)系式；
（2）直線BD上存在點(diǎn)M，使AM=AC，①點(diǎn)M和點(diǎn)B重合；②點(diǎn)M和點(diǎn)B不重合，設(shè)M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），
利用勾股定理求得AM的長，建立方程，求出問題的解．

解答：解：（1）設(shè)直線BD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
因?yàn)锳B=AC=4，BD是AC邊上的中線，
所以點(diǎn)B、D坐標(biāo)分別為（0，4）（2，0）代入：y=kx+b，
得：y=-2x+4；

（2）存在點(diǎn)M，使AM=AC，
①點(diǎn)M和點(diǎn)B重合，所以點(diǎn)M為（0，4）；
②點(diǎn)M和點(diǎn)B不重合，
如圖，連接AM，過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N．
令點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），
由AM=

a2+ (-2a+4)2

，
AM=AC可知

a2+ (-2a+4)2

=4，
解得a₁=0，a₂=

16

5

，
所以點(diǎn)M₁、M₂為（0，4）、（

16

5

，-

12

5

），
綜上可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為M₁（0，4）、M₂（

16

5

，-

12

5

）．

點(diǎn)評：此題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，利用勾股定理解決點(diǎn)的存在性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．