Question

解方程
（1）用配方法解方程：x²-4x+1=0
（2）用換元法解方程：（x²+x）²+（x²+x）=6．

Answer 1

考點：換元法解一元二次方程,解一元二次方程-配方法

專題：計算題

分析：（1）利用配方法解方程：先移項x²-4x=-1，再把方程兩邊加上4得x²-4x+4=3，利用完全平方公式得到（x-2）²=3，然后運用直接開平方法求解；
（2）運用換元法解方程：先設y=x²+x，則原方程變形為y²+y-6=0，運用因式分解法解得y₁=-3，y₂=2，再把y=-3和2分別代入y=x²+x得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．

解答：解：（1）x²-4x=-1，
x²-4x+4=3，
（x-2）²=3，
x-2=±

3

，
所以x₁=2+

3

，x₂=2-

3

；

（2）設y=x²+x，
原方程變形為y²+y-6=0，
（y+3）（y-2）=0，
解得y₁=-3，y₂=2，
當y=-3時，x²+x=-3，x²+x+3=0，△=1-4×3＜0，此方程無實數(shù)解；
當y=2時，x²+x=2，x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
所以原方程的解為x₁=-2，x₂=1．

點評：本題考查了換元法解一元二次方程：我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．也考查了配方法解一元二次方程．