Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使△CDM的面積最大？若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)所在的直線列式求出b的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出c的值，即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC=AD，然后求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)平行線間的距離相等以及三角形的面積可知當(dāng)過點(diǎn)M平行于AB的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到CD的距離最大，△CDM的面積最大，把拋物線與直線的解析式聯(lián)立消掉未知數(shù)y，利用根的判別式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上，
∴-

b

2× 2 3

=

5

2

，
解得b=-

10

3

，
∵拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），
∴c=4，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

3

x²-

10

3

x+4；

（2）四邊形ABCD是菱形時(shí)，點(diǎn)C、D在該拋物線上．
理由如下：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，
∴點(diǎn)C（5，4），D（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=

50

3

-

50

3

+4=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=

8

3

-

20

3

+4=0，
∴點(diǎn)C、D在該拋物線上；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
所以，直線AB的解析式為y=

4

3

x+4，
當(dāng)過點(diǎn)M平行于AB的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到CD的距離最大，△CDM的面積最大，
此時(shí)，設(shè)過點(diǎn)M的直線解析式為y=

4

3

x+m，
聯(lián)立

y= 2 3 x2- 10 3 x+4 y= 4 3 x+m

，
消掉y得，

2

3

x²-

10

3

x+4=

4

3

x+m，
整理得，2x²-14x+12-3m=0，
△=b²-4ac=（-14）²-4×2×（12-3m）=0，
解得m=-

25

6

，
此時(shí)，x=-

-14

2×2

=

7

2

，
y=

4

3

×

7

2

-

25

6

=

1

2

，
所以，點(diǎn)M（

7

2

，

1

2

）使△CDM的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱軸解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，平行直線的解析式的k值相等，三角形的面積，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)等底的三角形高越大，面積越大判斷出拋物線與過點(diǎn)M與AB平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)△CDM的面積最大．