Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

（其中n＞0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿O—A—B—C的順序向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為l，△POC的面積為S，S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．

1.（1）結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的m=         ；

2.（2）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng)；

3.（3）在圖1中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線W的頂點(diǎn)時(shí)，

    ①求此拋物線W的解析式；

    ② 若點(diǎn)Q在直線上方的拋物線W上，坐標(biāo)平面內(nèi)另有一點(diǎn)R，滿足以B，

P，Q，R四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

 

Answer 1

 

1.（1）圖2中的m=

2.（2）∵ 圖11（原題圖2）中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

∴ ，此時(shí)原題圖1中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合，

∵ 點(diǎn)B在x軸的正半軸上，

         ∴ ．

         解得 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為． ………………………………………2分

   此時(shí)作AM⊥OB于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N．（如圖12）．

∵ 點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∴ 點(diǎn)C在直線上．

又由圖11（原題圖2）中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖12中的點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線l上，

∴ 點(diǎn)C是直線與直線l的交點(diǎn)，且．

又∵ ，即AM= CN，

可得△ABM≌△CON．

∴ ON=BM=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．……………………………………3分

∵ 圖12中 ．

∴ 圖11中，． …………………4分

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

3.（3）①當(dāng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，作PG⊥OB于點(diǎn)G．

（如圖13）

∵O，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

   ∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，即OG=BG=4．

    由可得PG=2．

   ∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為．………………5分

   設(shè)拋物線W的解析式為（a≠0）．

   ∵ 拋物線過(guò)點(diǎn)，

∴．

解得．

∴ 拋物線W的解析式為．

…………………………………6分

 

②如圖14．

   i）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱

形的邊時(shí)，

    ∵ 點(diǎn)Q在直線上方的拋物線W

上，點(diǎn)P為拋物線W的頂點(diǎn)，結(jié)合拋

物線的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)Q只有一種情況，

點(diǎn)Q與原點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為．

……………………………………7分

  ii）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的對(duì)角線時(shí)，

     可知BP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，BP的中垂線的解析式為．

     ∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解．

     將該方程整理得．

     解得．

     由點(diǎn)Q在直線上方的拋物線W上，結(jié)合圖14可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

     ∴點(diǎn)的坐標(biāo)是． …………………………8分

  綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，．

解析:略