Question

如圖①是一副三角板，其中∠B=∠E=90°，∠A=∠C=45°，∠F=30°，AC=EF=2．把兩個(gè)三角板ABC和DEF疊放在一起（如圖②），且使三角板DEF的直角頂點(diǎn)E與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，DE和OC重合．現(xiàn)將三角板DEF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形BGEH是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖③）．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為45°時(shí)，EG和AB之間的數(shù)量關(guān)系為______．
（2）當(dāng)DF經(jīng)過三角板ABC的頂點(diǎn)B，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
（3）在三角板DEF繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，在DF上是否存在一點(diǎn)P，使得∠APC=90°，若存在，請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)在DF上畫出這個(gè)點(diǎn)，并說明理由，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在射線EF上取一點(diǎn)M，過M作DF的平行線交射線ED于點(diǎn)N（如圖④），若直線MN上始終存在兩個(gè)點(diǎn)P、Q，使得∠APC=∠AQC=90°，求EM的取值范圍．

Answer 1

解：（1）AB=2EG．


（2）過點(diǎn)E作EP⊥DF，垂足是P，

∵∠B=90°，∠A=∠C=45°，AC=2
∴EB=1
∵∠FED=90°，∠F=30°，EF=2
∴EP=1
∴當(dāng)DF經(jīng)過三角板ABC的頂點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
此時(shí)∠PED=30°，∠CED=60°
即旋轉(zhuǎn)角α為60°；

（3）以E為圓心，EC為半徑畫圓，與DF相切于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．
°
∵∠FED=90°，∠F=30°，EF=2
∴EP=1
∴P點(diǎn)在⊙E上，
∵AC是⊙E直徑，
∴∠APC=90°；

（4）以E為圓心，EC為半徑畫圓．
當(dāng)EM＜2時(shí)，直線MN和⊙E交于P、Q兩點(diǎn)，∠APC=∠AQC=90°．
分析：（1）旋轉(zhuǎn)角度為45°時(shí)，EG是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可得出EG和AB 之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）當(dāng)DF經(jīng)過三角板ABC的頂點(diǎn)B，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，即求∠ECD的度數(shù)，通過作輔助線可以得到P點(diǎn)與B點(diǎn)重合，從而得到答案．
（3）實(shí)際上是圓的切線的性質(zhì)及判定的運(yùn)用．
（4）題意告訴我們存在的點(diǎn)要在AC為直徑的圓上，所以MN就應(yīng)該是圓的弦從而得到EM應(yīng)小于AC的一半．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線、圓的切線的性質(zhì)，圓的割線的運(yùn)用等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)．