Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且AF=CE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）ED是BC的垂直平分線，根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點線段兩個端點的距離相等，則EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2與∠4互余，∠1與∠3互余，則可得到AE=CE，從而證得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因為FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根據(jù)內(nèi)錯角相等得到AF∥CE，故四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）由于△ACE是等腰三角形，當(dāng)∠1=60°時△ACE是等邊三角形，有AC=EC，有平行四邊形ACEF是菱形．
解答：解：（1）∵ED是BC的垂直平分線
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2與∠4互余，∠1與∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵，
∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．證明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=60°
∴∠AEC=60°
∴AC=EC
∴平行四邊形ACEF是菱形．
點評：本題綜合利用了中垂線的性質(zhì)、等邊對等角和等角對等邊、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形和判定和性質(zhì)、菱形的判定求解，有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．涉及的知識點有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．