Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
（1）用尺規(guī)作圖的方法，過B點(diǎn)作∠ABC的平分線交AC于D（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：BC=BD=AD；
（3）求證：AD²=AC•DC；
（4）設(shè)

CD

DA

=x，求x．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的方法進(jìn)行作圖；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，得∠ABC=∠ACB=72°，再根據(jù)角平分線定義，得∠ABD=∠CBD=36°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠BDC=72°，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明△BCD∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

BC

CD

=

AC

BC

，結(jié)合（2）的結(jié)論即可證明；
（4）結(jié)合（3）的結(jié)論和已知條件可以得到關(guān)于x的方程，從而求解．

解答：（1）解：如圖，

（2）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°．
∴BC=BD=AD．

（3）證明：∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
又BC=BD=AD，
∴AD²=AC•DC．

（4）解：∵AD²=AC•DC，

CD

DA

=x，AC=AD+CD，
∴AD²=（AD+CD）•CD，
AD²=（AD+x•AD）•x•AD，
x（1+x）=1，
x²+x-1=0，
x=

-1± 5

2

（負(fù)值舍去）．
即x=

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：（1）注意：角平分線是一條射線；三角形的角平分線是一條線段．
（2）能夠根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求得三角形的各角的度數(shù)，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；
（3）考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；
（4）掌握一元二次方程的解法，注意此圖中，點(diǎn)D實(shí)際上是AC的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．