Question

10．如圖，AB是⊙O的一條弦，M，N是⊙O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在弦AB的異側(cè)，若∠AMB=45°，若四邊形MANB面積的最大值是4$\sqrt{2}$，則⊙O的半徑為2．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$OA，由于S_{四邊形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，而當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，所以四邊形MANB面積的最大值=S_{四邊形DAEB}=$\frac{1}{2}$AB×DE，求出OA即可．

解答 解：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA，
∵S_{四邊形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，
即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，
此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S_{四邊形DAEB}=$\frac{1}{2}$AB×DE=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$OA×2OA=4$\sqrt{2}$，
解得：OA=2，即⊙O的半徑為2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握垂徑定理和圓周角定理，得出四邊形MANB面積取最大值時(shí)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．